Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Если $\{x_{n}\}$ - ограничена, то $\exists{\{x_{n_{k}}\}}$ сходящаяся. Если $\{x_{n}\}$ - неограничена, то $\exists{\{x_{n_{k}}\}}$ - бесконечно большая.

Пусть $x_{n} \in [a, b]$. Разделим пополам, $[a_{1}, b_{1}]$ - та часть, где бесконечное количество элементов $x_{n}$, $x_{n_{1}} \in [a_{1}, b_{1}]$. Разделим ещё раз пополам и продолжим данный процесс до бесконечности. Получаем $\{[a_{k}, b_{k}]\}$ - последовательность вложенных стягивающихся отрезков, $\{x_{n_{k}}\} : x_{n_{k}} \in [a_{k}, b_{k}]$. По принципу Кантора: $\exists{c}~~ \forall{k \in \mathbb{N}}~~ c \in [a_{k}, b_{k}]$. Докажем, что $\lim_{n \to \infty} x_{n_{k}} = c$. По определению: $\forall{\epsilon > 0}~~ \exists{N}~~ \forall{n>N}~~ |b_{n} - a_{n}| < \epsilon$. При этом: $a_{n_{k}} \leq c \leq b_{n_{k}}~~~ и~~~ a_{n_{k}} \leq x_{n_{k}} \leq b_{n_{k}} \Rightarrow |x_{n_{k}} - c| < |b_{n_{k}} - a_{n_{k}}| < \epsilon \Rightarrow \lim_{n \to \infty} x_{n_{k}} = c~~~\square$

$\{x_{n}\}$ - неограниченна $\Rightarrow \forall{M}~~ \exists{n \in \mathbb{N}}~~ |x_{n}| > M$. Сначала рассмотрим случай $x_{n} > M$: Пусть $\{x_{n_{k}}\} = \{x_{n_{j}} | x_{n_{j}} > j\},~~ n_{j} > n_{j-1}$. Возьмём $N_{M}$ такое, что $x_{n_{k}} > k > N_{M} \geq M$, тогда: $\forall{M > 0}~~ \exists{N_{M}}~~ \forall{n>N_{M}}~~ x_{n_{k}} > M$, а значит $\{x_{n_{k}}\}$ - бесконечно большая. Второй случай доказывается аналогично, с $\{x_{n_{k}}\} = \{x_{n_{j}} | x_{n_{j}} < -j\},~~ n_{j} > n_{j-1}~~~~~~\square$